Funções
1 - Definição
Dados dois conjuntos A e B não vazios, chama-se função (ou aplicação) de A em B, representada por f : A ® B ; y = f(x), a qualquer relação binária (relação entre 2 elementos) que associa a cada elemento de A, um único elemento de B.
Portanto, para que uma relação de A em B seja uma função, exige-se que a cada x Î A esteja associado um único y Î B, podendo entretanto existir y Î B que não esteja associado a nenhum elemento pertencente ao conjunto A.
Obs : na notação y = f(x), entendemos que y é imagem de x pela função f, ou seja, y está associado a x através da função f.
Exemplos:
f(x) = 4x+3; então f(2) = 4.2 + 3 = 11. Portanto, 11 é imagem de 2 pela função f;
f(5) = 4.5 + 3 = 23. Portanto, 23 é imagem de 5 pela função f, f(0) = 4.0 + 3 = 3, etc.
Para definir uma função, necessitamos de dois conjuntos (Domínio e Contradomínio) e de uma fórmula ou uma lei que relacione cada elemento do domínio a um e somente um elemento do contradomínio.
Quando D(f) (domínio) Ì R e CD(f)(contradomínio) Ì R, sendo R o conjunto dos números reais, dizemos que a função f é uma função real de variável real. Na prática, costumamos considerar uma função real de variável real como sendo apenas a lei y = f(x) que a define, sendo o conjunto dos valores possíveis para x, chamado de domínio e o conjunto dos valores possíveis para y, chamado de conjunto imagem da função. Assim, por exemplo, para a função definida por y = 1/x, temos que o seu domínio é D(f) = R*, ou seja, o conjunto dos reais diferentes de zero (lembre-se que não existe divisão por zero), e o seu conjunto imagem é também R*, já que se y = 1/x, então x = 1/y e, portanto, y também não pode ser zero.
Nota: o símbolo Ì significa “contido em”.
Dada uma função f : A ® B definida por y = f(x), podemos representar os pares ordenados (x,y) Î f onde x Î A e y Î B, num sistema de coordenadas cartesianas.
O gráfico obtido será o gráfico da função f.
Assim, por exemplo, sendo dado o gráfico cartesiano de uma função f, podemos dizer que:
a) a projeção da curva sobre o eixo x nos dá o domínio da função.
b) a projeção da curva sobre o eixo y nos dá o conjunto imagem da função.
c ) toda reta vertical que passa por um ponto do domínio da função intercepta o gráfico da função em no máximo um ponto.
Veja a figura seguinte, relativa aos ítens 1, 2 e 3 acima:
2 -Tipos de funções
2.1 - Função sobrejetora
É aquela cujo conjunto imagem é igual ao contradomínio.
Exemplo:
2.2 - Função injetora
Uma função y = f(x) é injetora quando elementos distintos do seu domínio possuem imagens distintas, isto é:
x1 ¹ x2 Þ f(x1) ¹ f(x2).
Exemplo:
2.3 - Função bijetora
Uma função é dita bijetora quando é, ao mesmo tempo, injetora e sobrejetora.
Exemplo:
Exercícios Comentados
1 - Considere três funções f, g e h, tais que:
A função f atribui a cada pessoa do mundo a sua idade.
A função g atribui a cada país a sua capital.
A função h atribui a cada número natural o seu dobro.
Podemos afirmar que, das funções dadas, são injetoras:
a) f, g e h
b) f e h
c) g e h
d) apenas h
e) nenhuma delas
Solução:
Sabemos que, numa função injetora, elementos distintos do domínio possuem imagens distintas, ou seja:
x1 ¹ x2 Þ f(x1) ¹ f(x2).
Logo, podemos concluir que:
f não é injetora, pois duas pessoas distintas podem ter a mesma idade.
g é injetora, pois não existem dois países distintos com a mesma capital.
h é injetora, pois dois números naturais distintos possuem os seus dobros também distintos.
Assim é que concluímos que a alternativa correta é a de letra C.
2 - Seja f uma função definida em R - conjunto dos números reais - tal que f(x - 5) = 4x. Nestas condições, determinar f(x + 5).
Solução:
Vamos fazer uma mudança de variável em f(x - 5) = 4x, da seguinte forma:
x - 5 = u \ x = u + 5
Substituindo agora (x - 5) pela nova variável u e x por (u + 5), vem:
f(u) = 4(u + 5) \ f(u) = 4u + 20
Ora, se f(u) = 4u + 20, teremos:
f(x + 5) = 4(x+5) + 20 \ f(x+5) = 4x + 40
3 – (UEFS 2005-1) Sabendo-se que a função real f(x) = ax + b é tal que f(2x2 + 1) = - 2x2 + 2, para todo x Î R, pode-se afirmar que b/a é igual a
a) 2
b) 3/2
c) 1/2
d) -1/3
e) -3
Solução:
Ora, se f(x) = ax + b, então f(2x2 + 1) = a(2x2 + 1) + b
Como f(2x2 + 1) = - 2x2 + 2, vem, igualando:
a(2x2 + 1) + b = - 2x2 + 2
Efetuando o produto indicado no primeiro membro, fica:
2ax2 + a + b = -2x2 + 2
Então, poderemos escrever: 2a = -2 \ a = -2 /2 = -1
E, também, a + b = 2; como a = -1, vem substituindo: (-1) + b = 2 \ b = 2 + 1 = 3
Logo, o valor procurado a/b será a/b = -1 / 3, o que nos leva tranquilamente à alternativa D.
3 - Paridade das funções
3.1 - Função par
A função y = f(x) é par quando " x Î D(f), f(- x) = f(x), ou seja, para todo elemento do seu domínio, f(x) = f (- x). Portanto, numa função par, elementos simétricos possuem a mesma imagem. Uma consequência desse fato é que os gráficos cartesianos das funções pares são curvas simétricas em relação ao eixo dos y, ou eixo das ordenadas.
O símbolo " lê-se “qualquer que seja”.
Exemplo:
y = x4 + 1 é uma função par, pois f(x) = f(-x), para todo x.
Por exemplo, f(2) = 24 + 1 = 17 e f(- 2) = (-2)4 + 1 = 17
O gráfico abaixo é de uma função par:
4.2 - Função ímpar
A função y = f(x) é ímpar quando " x Î D(f), f(- x) = - f(x), ou seja, para todo elemento do seu domínio, f(- x) = - f(x). Portanto, numa função ímpar, elementos simétricos possuem imagens simétricas. Uma consequência desse fato é que os gráficos cartesianos das funções ímpares são curvas simétricas em relação ao ponto (0,0), origem do sistema de eixos cartesianos.
Exemplo:
y = x3 é uma função ímpar, pois para todo x, teremos f(- x) = - f(x).
Por exemplo, f( - 2) = (- 2)3 = - 8 e - f(x) = - (23) = - 8.
O gráfico abaixo é de uma função ímpar:
Nota: se uma função y = f(x) não é par nem ímpar, diz-se que ela não possui paridade.
Exemplo:
O gráfico abaixo representa uma função que não possui paridade, pois a curva não é simétrica em relação ao eixo dos x e, não é simétrica em relação à origem:
