Geometria Analítica e Hipérbole
Hipérbole de centro na origem (0,0)
1 – Definição:
Dados dois pontos fixos F1 e F2 de um plano, tais que a distancia entre estes pontos seja igual a 2c > 0, denomina-se Hipérbole a curva plana cujo módulo da diferença das distâncias de cada um de seus pontos P a estes pontos fixos F1 e F2 é igual a um valor constante 2.a, onde a < c.
Assim, temos por definição:
½ PF1 - PF2 ½ = 2a
Os pontos F1 e F2 são denominados Focos e a distância F1F2 é conhecida com Distância Focal da hipérbole.
O quociente c/a é conhecido como Excentricidade da hipérbole.
Como, por definição, a < c, concluímos que a excentricidade de uma hipérbole é um número positivo maior que a unidade.
A1A2 é denominado Eixo Real ou Eixo Transverso da hipérbole, enquanto que B1B2 é denominado Eixo Não Transverso ou Eixo Conjugado da hipérbole. Observe na figura acima que é válida a relação:
c2 = a2 + b2
O ponto (0,0) é o centro da hipérbole.
2 – Equação reduzida da hipérbole de eixo transverso horizontal e centro na origem (0,0)
Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma hipérbole e sejam F1(c,0) e F2(-c,0) os seus focos. Sendo 2.a o valor constante com c > a, como vimos acima, podemos escrever:
½ PF1 - PF2 ½ = 2a
Usando a fórmula da distancia entre dois pontos, podemos escrever:
Observe que x – (-c) = x + c.
Quadrando a expressão acima, vem:
Com bastante paciência e aplicando as propriedades corretas, a expressão acima depois de desenvolvida e simplificada, chegará a:
b2.x2 - a2.y2 = a2.b2, onde b2 = c2 – a2, o que pode ser verificado na figura acima.
Dividindo agora, ambos os membros por a2b2 vem finalmente:
Obs: Se o eixo transverso ou eixo real (A1A2) da hipérbole estiver no eixo y e o eixo não transverso ou eixo conjugado (B1B2) estiver no eixo x, a equação da hipérbole de centro na origem (0,0) passa a ser:
Exercícios Comentados
1) Determine a excentricidade da hipérbole de equação 25x2 - 16y2 – 400 = 0.
Solução
Temos: 25x2 - 16y2 = 400. Observe que a equação da hipérbole não está na forma reduzida. Vamos dividir ambos os membro por 400. Fica então:
Portanto, a2 = 16 e b2 = 25. Daí, vem: a = 4 e b = 5.
Como c2 = a2 + b2, vem substituindo e efetuando que c = Ö 41
Portanto a excentricidade e será igual a : e = c/a = Ö 41 /4 = 1,60
Resposta: 1,60.
2) Determine a distância focal da hipérbole de equação 25x2 – 9y2 = 225 .
Solução:
Dividindo ambos os membros por 225, vem:
Daí, vem que: a2=9 e b2=25, de onde vem imediatamente: a=3 e b=5.
Portanto, c2 = a2 + b2 = 9 + 25 = 34 e então c = Ö 34.
Logo, a distancia focal da hipérbole sendo igual a 2c , será igual a 2Ö 34.
3) Determine as equações das assíntotas da hipérbole do exercício 1.
Solução
y = (5/4).x ou y = (-5/4).x
Nota: entende-se por assíntotas de uma hipérbole de centro na origem as retas que passam na origem (0,0) e tangenciam os dois ramos da hipérbole num ponto impróprio situado no infinito.
Dada a hipérbole de equação:
Prova-se que as assíntotas, são as retas de equações:
R1: y = (b/a).x e R2: y = -(b/a).x
Veja a figura abaixo:
