Trigonometria

20-07-2010 22:47

Dedução da fórmula

Considere a figura abaixo que representa uma circunferência trigonométrica (centro na origem O(0,0) e raio unitário). Sejam a e b dois arcos trigonométricos com a > b.

Temos o arco PB de medida b e o arco PA de medida a. Nestas condições, podemos concluir que o arco BA tem medida a - b.
Pelo teorema dos cossenos, sabemos que em qualquer triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses lados, pelo cosseno do ângulo que eles formam. 

Assim, na figura acima, poderemos escrever, pelo teorema dos cossenos, para o triângulo OAB:
AB² = OB² + OA² - 2. OB . OA . cos(a - b). (Equação 1)
Ora, OB = OA = 1 (raio do círculo trigonométrico, portanto, unitário).
AB = distancia entre os pontos A(cosa,sena) e B(cosb,senb).
De acordo com a fórmula da distancia entre dois pontos, (cosa - cosb)² + (sena - senb)² = 1² + 1² - 2.1.1.cos(a -b)
Desenvolvendo, vem:
cos²a - 2.cosa.cosb + cos²b + sen²a - 2.sena.senb + sen²b = 2 - 2cos(a - b)
Lembrando que cos²a + sen²a = cos²b + sen²b = 1 (Relação Fundamental da Trigonometria), vem, substituindo:
1 + 1 - 2cosacosb - 2senasenb = 2 - 2cos(a - b)
Simplificando, fica:
-2[cosacosb + senasenb] = -2.cos(a - b)
Donde finalmente podemos escrever a fórmula do cosseno da diferença de dois arcos a e b:

cos(a - b) = cosa . cosb + sena . senb

 

Exemplo: cos(x - 90º) = cosx . cos90º + senx . sen90º
Ora, como já sabemos que cos90º = 0 e sen90º = 1, substituindo, vem finalmente:

cos(x - 90º) = senx.

Se fizermos a = 0º na fórmula do cosseno da diferença, teremos:
cos(0 - b) = cos0 . cosb + sen0 . senb
E como sabemos que cos0 = 1 e sen0 = 0, substituindo, fica:
cos(- b) = cosb

Portanto:
cos(- 60º) = cos60º = 1/2, cos(- 90º) = cos90º = 0, cos (-180º) = cos 180º = -1, etc.
Se considerarmos a função y = cosx , como cos(- x) = cosx , diremos então que a função cosseno é uma função par.

 

Exercícios:

 

1) Tente simplificar a seguinte expressão:
y = cos(x - 90º) - cos(x - 270º).

 

Solução:

 

2senx

 

2) Um alpinista deseja calcular a altura de uma encosta que vai escalar. Para isso, afasta-se, horizontalmente, 80 m do pé da encosta e visualiza o topo sob um ângulo de 55º com o plano horizontal. Calcule a altura da encosta. (Dados: sem 55º = 0,81, cos 55º = 0,57 e tg 55º = 1,42)

 

Solução:

113,6m

 

3) Se cada ângulo de um triângulo equilátero mede 60º, calcule a medida da altura de um triângulo equilátero de lado 20 cm.

 

Solução:

10√3